形狀分析：優(yōu)化3D打印形狀的表現(xiàn)力

目前“大數(shù)據(jù)”、“3D數(shù)字化”、“人工智能AI”、“深度學習”、“AR/VR”是數(shù)字智能領(lǐng)域的熱點研究方向 ，層出不窮的新概念讓一般人看的眼花繚亂。其實，“萬變不離其宗”！以下內(nèi)容摘自吳懷宇博士2017年新出版的《3D打�。喝�維智能數(shù)字化創(chuàng)造》（第3版）一書，作者吳懷宇（中科院博士、北大博士后）為中國3D科技產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟副理事長。

【形狀分析：優(yōu)化3D打印形狀的表現(xiàn)力】

首先我們來觀看著名的克拉尼金屬板（Chladni plates）實驗，如圖6-40所示。18世紀，德國物理學家及音樂家克拉尼在薄的金屬板上撒上均勻的細沙，然后拉起小提琴。在聲音的振動下，這些細沙開始“跳舞”，并從一些地方向另一些地方聚集（形成駐波），并最終形成各種對稱的圖案。克拉尼發(fā)現(xiàn)不同頻率的聲波會形成不同的圖案，且頻率越高則形成的圖案越復(fù)雜！

圖6-40  克拉尼金屬板（Chladni plates）實驗 （圖片來源：The Whipple Museum）

提示：      
其實這種現(xiàn)象早在我國先秦時代就有發(fā)現(xiàn)和利用。當時有一種稱之為“魚洗”的盥洗用具，形似現(xiàn)在的臉盆，如圖6-41所示。盆沿左右各有一個把柄，稱為雙耳；盆底裝飾有魚紋的，故稱“魚洗”。魚洗奇妙的地方是，用手快速有節(jié)奏地摩擦盆邊兩耳，盆會像受擊撞一樣振動起來，盆內(nèi)水波蕩漾。摩擦得法，可噴出水柱。具體地，在盆內(nèi)注半盆水，用雙手輕搓兩個把柄，利用手與把柄之間的摩擦使把柄開始嗡嗡振動。同時把柄的振動在水面上傳播，并與盆壁反射回來的反射波疊加形成二維橫駐波。當振動頻率接近盆的固有頻率時，就會發(fā)生共振，此時便有水花從水面上噴射出來。

圖6-41  我國古代“魚洗”形成的駐波和共振現(xiàn)象（圖片來源：Microfotos、iyaya.com）

由此我們知道：聲音原來是“有形狀的”！其實很早以前，古埃及人就把幾何叫作“凍結(jié)的音樂”，他們用幾何學來記錄樂譜。甚至有人大膽地猜測：通過聽鼓發(fā)出的聲音頻率，能猜出鼓的形狀。（“Can one hear the Shape of a Drum?”）。雖然答案是“并不能完全對應(yīng)”（存在著不唯一性），但至少可以看出：形狀和頻率有著極其緊密的聯(lián)系。
非常類似于二維平板上的克拉尼圖案，在3D形狀上不同頻率也對應(yīng)于不同的條紋分布，如圖6-42所示的層層疊疊的葉狀結(jié)構(gòu)（Foliation）。同樣，頻率越高，則條紋的分布情況也越復(fù)雜（從左到右）。此外，我們還可發(fā)現(xiàn)，這些頻譜條紋像是“理解了”整個形狀似的，不僅隨著整體形狀的走勢有規(guī)律地自然延展、一點兒也不錯綜雜亂，而且在形狀對稱的地方也呈現(xiàn)出對稱的形態(tài)（見左腿和右腿區(qū)域的條紋）。我們將定義在任意流形形狀的這種頻譜分布稱之為流形調(diào)和（Manifold Harmonics）[33]。如果將每一根條紋視為一條流線，則整個形狀可視為一個流場，所謂Harmonic（調(diào)和、和諧）即指該流場沒有漩渦（旋量為0）、沒有源或匯（散度為0），使得調(diào)和能量達到極小，形成了最穩(wěn)定自然的流場。

圖6-42  3D形狀上的頻譜條紋（圖片來源：Bruno Lévy）

提示：
流形調(diào)和是定義在任意流形曲面上的Laplace-Beltrami微分算子的特征函數(shù)（Eigenfunction），其將二維平面上的離散傅立葉變換和球面上的球調(diào)和函數(shù)擴展到了三維離散曲面。
我們知道，函數(shù)的Laplace（拉普拉斯）算子定義為它的梯度的散度，即 。Laplace-Beltrami微分算子則是規(guī)則域上Laplace算子在流形曲面（非規(guī)則域）上的推廣，即：       。
Laplace-Beltrami微分算子的特征模態(tài)（包括特征函數(shù)和特征值）滿足Helmholtz波動方程：，其中標量稱為所對應(yīng)的特征值（Eigenvalue，由于其可以唯一標識形狀的特性在有的文獻里也被稱為形狀DNA），解稱為對應(yīng)于的特征函數(shù)。上式經(jīng)過離散化后，可得特征值和特征函數(shù)對，其滿足。通過流形調(diào)和變換（Manifold Harmonic Transformation，MHT），原本的空（間）域坐標就可被轉(zhuǎn)換成頻（譜）域坐標，即。

如果我們進一步研究，還可以發(fā)現(xiàn)一個更有趣的現(xiàn)象。如圖6-43所示，我們把圖中的條紋圖變成更精細的彩色圖（由于排版原因，這里只取前3個頻率分量）。本圖中實際上有兩個3D模型，其中下方的模型是對上方的3D模型做了一個細節(jié)保持的形變（參見本章6.2.3節(jié)），也就是局部形狀細節(jié)是剛性保持的、等長不變的（Isometry Invariant）。請仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)：形變前后的這兩個模型的頻譜分布是非常相似的、幾乎可以說是等同的！這個有用的性質(zhì)可用于3D模型的檢索（參見本章6.4.3節(jié)），以確保將形變前后的形狀歸類為同一個形狀。

圖6-43  形變前后的形狀頻譜分布保持相似

再舉一個3D形狀的例子，如圖6-44所示。圖（a）顯示了原始的3D形狀，圖（b）顯示了只保留形狀低頻部分的光滑效果（使用低通濾波函數(shù)），圖（c）顯示了只保留高頻部分的細節(jié)增強效果（使用高通濾波函數(shù)），圖（d）顯示了對某些頻帶進行特別處理后的夸張效果（使用帶通濾波函數(shù)）。

圖6-44  3D形狀的濾波

三維模型頻譜分析的思路和傅里葉變換、小波變換類似，都是把數(shù)據(jù)從一個空間（空域）變換到另一個空間（頻域）。拉普拉斯矩陣是變換的核心，提取出的特征向量和特征值包含了大量關(guān)于三維模型的豐富信息。同時，拉普拉斯矩陣是一個對稱矩陣，特征向量都是正交的。它的第一個特征向量為常數(shù)，歸一化后為，相對應(yīng)的特征值為0（即最小特征值）。如果在這個三維模型的拉普拉斯矩陣的所有特征值中有個特征值都為0，那么就可以判斷這個三維模型含有個互不連通（孤立）的子模型。拉普拉斯矩陣的第二小特征值（即最小的非零特征值）對應(yīng)的特征向量稱為菲德爾（Fiedler）向量。

菲德爾向量也是一個特殊的向量，具有很多的應(yīng)用，如用于三維模型的分割。此外，菲德勒向量不僅僅是矩陣的最小非零特征向量，而且還是和矩陣相關(guān)的優(yōu)化問題的最小值，因此還可被用于數(shù)值優(yōu)化問題的求解，比如菲德爾向量是瑞利商（Rayleigh quotient）函數(shù)的最小值。利用菲德爾向量的這個特性，就可將一個二次形式具有限制條件的優(yōu)化問題等價為一個相應(yīng)的特征向量問題，即可通過求解特征向量的方法得到最優(yōu)解。除了菲德爾向量，其他特征向量也具有一些可以描述三維模型信息和特點的結(jié)構(gòu)。對于一個特征向量來說，這些元素中值為零的元素的集合稱為是節(jié)點集合（Nodal Set）。這些值為零的元素是分段連接的，這些節(jié)點集合把整個三維模型分割為幾個區(qū)域，稱為是節(jié)點域（Nodal Domains），并滿足節(jié)點區(qū)域有如下定理（Courant's Nodal Domain Theorem）：如果把拉普拉斯矩陣的特征值從小到大排列，那么第個特征向量最多有個節(jié)點區(qū)域。注意此定理僅僅指出每個特征向量節(jié)點區(qū)域的上限，并不能得到節(jié)點區(qū)域具體的數(shù)值。
此外，利用頻譜我們還可以對形狀的表現(xiàn)力做一個層次化的展示。如圖6-45所示，從左到右分別對應(yīng)一個3D頭像的低頻和高頻部分�？梢钥闯�，形狀的低頻部分看起來非常平滑，但缺乏細節(jié)；而形狀的高頻部分則細節(jié)豐富、立體感強。值得注意的是，三維模型的各個特征向量并不都是平等重要的，三維模型的大部分信息都包含少數(shù)的較小特征值所對應(yīng)的特征向量上，越往后的特征向量對三維模型信息的貢獻所占比例越少。例如，一個具有幾千個頂點的3D模型，其實用前面幾百個特征向量就可以真實地重建（即Inverse MHT：流形調(diào)和逆變換，將頻譜域坐標變回原本的空間域坐標）出來了，其他更多的特征向量由于包括信息量太少都可被舍棄掉。

圖6-45  基于頻譜的形狀細節(jié)層次化展示

我們知道，當前3D打印的主要矛盾在于有限的打印設(shè)備精度和用戶期待的理想打印結(jié)果之間存在著較大的差距。而通過對3D數(shù)字形狀進行智能分析將有效地緩解這一矛盾。比如通過頻譜分析，可對3D形狀的頻域特征空間進行智能化處理，優(yōu)化生成最匹配于當前打印機精度的3D數(shù)字化模型（如選用圖中的某個中間狀態(tài)的3D頭像模型）。

提示：
除了形狀頻譜，我們還有一種更廣泛意義的理論用于形狀分析：莫斯函數(shù)（Morse Function）。莫斯函數(shù)的定義非常簡單，給每個頂點賦一個值，所有這些值的集合可被稱為三維模型上定義的一個函數(shù)。只要這個函數(shù)滿足每對相鄰頂點的值都不同，那么這個函數(shù)就是莫斯函數(shù)�？梢钥闯�，在給定的三維模型上可定義無數(shù)個莫斯函數(shù)，比如每個頂點的X坐標、Y坐標、Z坐標，或者cosX、sinX等等都可作為函數(shù)值。并且可以看出，如果把特征向量作為莫斯函數(shù)的變量，就等同于前面的流形調(diào)和。
給定了莫斯函數(shù)后，3D模型上每個點都有一個值，將其與周圍鄰接點的值相比較，可以得到關(guān)鍵點（Critical Point），包括：最大值點（Maximum）、最小值點（Minimum）和馬鞍點（Saddle），數(shù)學含義可參考第10章第10.1.1節(jié)。根據(jù)這些關(guān)鍵點，可對3D網(wǎng)格模型進行劃分（關(guān)鍵點之間用積分線連接起來）成四邊形網(wǎng)格（每個四邊形通常由2個對角的馬鞍點、以及1個最大值點和1個最小值點組成），就構(gòu)成了所謂的莫斯復(fù)形（Morse Complex），如圖6-46上邊所示，其可用于規(guī)則四邊形細分網(wǎng)格的生成。

雖然給定的3D模型有無數(shù)個莫斯函數(shù)，但它們的關(guān)鍵點個數(shù)不是任意的，需滿足莫斯定理，該定理確定了莫斯函數(shù)的關(guān)鍵點和歐拉示性數(shù)（見6.4.3節(jié)）之間的關(guān)系：

即歐拉示性數(shù)＝最大值點數(shù)＋最小值點數(shù)－馬鞍點數(shù)�？煽闯�，莫斯函數(shù)與3D模型的全局拓撲結(jié)構(gòu)有關(guān)，即便莫斯函數(shù)局部上可以隨意給定每個頂點的數(shù)值，全局上還是要受到3D模型拓撲（歐拉示性數(shù)）的限制。
如果需要進一步對關(guān)鍵點的分布、數(shù)量進行精確控制，這時可用到調(diào)和函數(shù)（Harmonic Function）。該函數(shù)可手工設(shè)置最大值點和最小值點，然后通過求解線性方程得到一個莫斯函數(shù)。根據(jù)莫斯定理，極值點的數(shù)量確定了，馬鞍點的數(shù)量也是確定的（不過調(diào)和函數(shù)無法精確控制馬鞍點的位置）。調(diào)和函數(shù)的定義：
   
其中L為拉普拉斯矩陣，X是待求解的未知調(diào)和函數(shù)，F(xiàn)是一個向量用于手工指定極值點（比如指定3個最大值點和2個最小值點）。如圖6-46下邊所示，我們了指定1個極大值點（數(shù)值設(shè)置為1.0，位于左邊樹杈的頂點）和1個極小值點（數(shù)值設(shè)置為0.0，位于中間樹干的底部），則求得的調(diào)和函數(shù)值為0.0-1.0之間。

圖6-46  上邊：莫斯復(fù)形用于規(guī)則四邊形細分網(wǎng)格的生成； 下邊：調(diào)和函數(shù)（圖片來源：[179,180]）

前面介紹的都是靜態(tài)的形狀分析，實際上能夠運動的形狀更加具有表現(xiàn)力和吸引力。迪斯尼公司的研究團隊近年來在這方面做了大量的工作。如圖6-47所示，他們展示了一款新型3D設(shè)計軟件DefSense[187]，通過模擬3D模型的實際形變，并在模型內(nèi)部放入壓阻式傳感器來感知柔性材料3D打印出來后形狀的各種彎曲，比如是彎折、扭曲，還是拉伸。這項技術(shù)一旦成熟就能應(yīng)用到許多方面，比如游戲控制器、電子樂器、3D形象動畫，以及極具發(fā)展?jié)摿Φ娜藱C交互（HCI）。

圖6-47  感知自身形變的3D打印物體（圖片來源：[187]）

迪斯尼研發(fā)團隊還開發(fā)出智能交互設(shè)計軟件以自動生成可3D打印機器人[188]和動畫角色模仿機器人[189]，如圖6-48所示。給定由關(guān)節(jié)連接而成的機器人骨骼結(jié)構(gòu)，每個關(guān)節(jié)中都會放入一個虛擬的單軸馬達，軟件能夠?qū)⒃O(shè)計過程中的繁瑣部分自動化，基于模型預(yù)測控制（MPC）來保持身體不同部位之間運動的高度協(xié)調(diào)，而不會影響形態(tài)、比例、步態(tài)和運動。一旦設(shè)計完成，軟件就會生成包括電子元件連接裝置在內(nèi)的完整身體3D幾何結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可自行3D打印，并用螺釘直接與伺服電機相連。在團隊的另一項研究工作中[189]，為了能夠?qū)⑸鷦佑腥さ膭赢嬓蜗髱У浆F(xiàn)實中，團隊利用3D打印技術(shù)制造了動畫角色模仿機器人。為了看上去更加生動，機器人不僅需要類似于動畫角色的外形，要重要的是能夠?qū)�動畫角色的各種夸張行為模式進行高度模仿。

圖6-48  交互設(shè)計可3D打印機器人與動畫角色模仿機器人（圖片來源：[188]、[189]）

來源：三體智訊